家人去世时，有义务缴纳都市区町村民税吗？

市町村民税从 1 月 1 日开始征收。即使您在 1 月 2 日之后去世，您仍然有义务纳税，您的继承人也有义务纳税。
如果您放弃所有继承权，您将没有义务纳税。